A Matemática está em todo lugar. Nos objetos que criamos, nas obras de arte que admiramos. Ela também está, por mais que não percebamos, na natureza que nos envolve em suas paisagens e espécies vegetais e animais, inclusive a espécie humana. Nossa atração por outros humanos e mesmo nossa locomoção depende dela. Mas como isso acontece?

Da estrutura de prédios à descoberta de novos planetas, de transações comerciais à Moda e às novas tecnologias, a Matemática sempre teve seu lugar como ferramenta importante no avanço da ciência e da técnica em campos tão diversos como as Engenharias, Biologia, Filosofia e Artes. E também está presente na natureza, escondendo – e mostrando – seus encantos sob diversas formas, intrigando pesquisadores e inspirando poetas. Uma das ideias que melhor materializa a Matemática em toda a sua elegância é o conceito de simetria.

O teto da mesquita de Lotfollah em Isfahan (Irã) é um grande exemplo de simetria empregada com beleza na arquitetura. 

 Harmonia e beleza

Um objeto é simétrico quando existe uma “harmonia de proporções” de suas partes em relação ao todo: altura, largura e comprimento têm uma relação equilibrada entre si. Estritamente relacionada à harmonia e beleza, a simetria é também um conceito decisivo nas teorias sobre a natureza. Na Grécia Antiga o conceito floresceu e nos influencia até hoje.

O Dicionário de Filosofia Stanford lembra que no Timeu, obra do filósofo grego Platão (429 - 347 AEC - antes da Era Comum), por exemplo, formas geométricas regulares têm lugar central na doutrina dos elementos naturais pelas proporções que contêm e pela beleza de suas formas. Os quatro elementos - fogo, água, terra e ar - poderiam ser representados por formas geométricas regulares (com poliedros de quatro, vinte, seis e oito faces iguais, respectivamente) e mesmo o Universo também poderia ser representado por um poliedro de doze faces - ou um dodecaedro simétrico. Partículas com estas diferentes formas, combinadas, dariam origem a todos os elementos naturais que conhecemos. Por mais que não existisse “simetria” enquanto palavra ou termo no vocabulário grego na época em que Platão viveu, o conceito já estava em gestação. O substantivo grego “summetria”, literalmente “da mesma medida”, já era usado em referência à “proporção".

A proporção áurea

Há quem diga que o tamanho e a proporção dos sólidos perfeitos descritos por Platão têm uma relação entre si - as faces das partículas de fogo, água e ar poderiam ser combinadas entre si por serem proporcionais. Teriam, entre elas, a “proporção áurea” - ou um tipo de simetria que marca o ritmo de crescimento no desenvolvimento de diversas espécies. As folhas de uma árvore, por exemplo, depois de nascida a primeira, se multiplicam mais ou menos nesta velocidade: 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… e daí por diante. O último número é sempre a soma dos dois antecessores -- e dividindo cada número pelo seu antecessor, o resultado vai ser bem próximo de 1,6180, ou o que matemáticos como o italiano Leonardo Fibonacci (1175 - 1250) consideram como “a proporção áurea”. Esta sequência de números - sempre com a razão áurea entre eles - quando aplicada a uma sucessão de quadrados proporcionais dentro de um retângulo, gera um “retângulo de ouro”. Se traçarmos uma linha, formada por quartos de círculo, seguindo a progressão das figuras formadas nele, temos a “espiral áurea”, como no desenho ao lado.

Na natureza, este tipo de simetria marca o ritmo de crescimento no desenvolvimento de diversas espécies - e também se manifesta perceptível a olho nu, se enquadrando também nas regras que determinam a concepção de “belo” na arte. O maior exemplo de materialização da espiral áurea na natureza talvez seja o náutilo, molusco de origem pré-histórica que ainda tem ‘parentes’ vivos no Oceano Pacífico.

Os náutilos são um tipo de espécie sobrevivente da subclasse arcaica dos nautoloides que apareceram no início do Paleozóico - muito antes dos dinossauros e antes mesmo da aparição dos primeiros animais terrestres. A subclasse prima das ammonoidea contava com a espécie extinta dos amonitas - muito queridos dos aficionados por fósseis - que também exibiam a proporção áurea em suas conchas.

Iguais, mas diferentes?

Existem, também, diversas outras formas de simetria visíveis na natureza. Há o tipo de simetria bilateral, como o reflexo de uma imagem em um lago que pode ser dividida em duas partes idênticas; e também pode ser radial, quando a imagem se forma no entorno de um ponto central e se “irradia” para todos os lados, como uma flor aberta ou um dente-de-leão amarelo. A simetria também se manifesta em formas complexas como fractais, em que uma estrutura em sua parte é parecida com o todo em qualquer escala. E ainda, no caso de sons e ondas de mesma frequência, não é exagero dizer que os sons e luzes sejam, também, simétricos. No mundo natural, as simetrias não são completamente perfeitas, abrigando algumas imperfeições visíveis.

Segundo o professor do IME-USP Eduardo Colli, “o nosso olhar busca as simetrias, mesmo que na natureza elas não sejam perfeitas. Na verdade, a maior beleza nas simetrias da natureza está nessas pequenas imperfeições”.

A beleza bilateral

Uma das principais simetrias existentes na natureza é a bilateral. Nela, um lado do corpo da planta ou animal é uma cópia muito aproximada do outro, como se existisse um plano capaz de dividir a imagem em dois lados - ou duas imagens quase refletidas. Esta morfologia, não raramente, tem uma função clara: seria bastante difícil para um pássaro voar em linha reta se o tamanho de suas asas não fosse aproximadamente o mesmo, por exemplo.

Esferas, esferas

Um objeto é esfericamente simétrico se é possível cortá-lo e obter duas metades iguais  - independente da direção do corte, desde que passe pelo centro dele. Frutas como as laranjas e alguns limões têm um formato muito próximo do esférico.

Para Platão, a esfera era a forma mais simétrica e homogênea que existe. E seria, portanto, a forma mais bela e mais perfeita de todas. O Cosmos, segundo ele, tinha forma esférica - e assim também os corpos celestes, como o planeta Júpiter, que vemos na imagem.

Segundo o matemático da UFRJ Graham Smith, “os físicos de hoje em dia acreditam que a chamada ‘constante cosmológica’ é positiva, o que significa que, na escala do universo, o Cosmos realmente pode ser uma esfera. Seria uma esfera espaço-temporal de quarta dimensão - mas mesmo assim parece que Platão não estava tão errado, afinal!”

Formas radiais

Um corpo tem simetria radial se, ao ser cortado várias vezes, gera pedaços iguais. Ou se é possível “rodá-lo” em torno de um eixo central e obter um efeito de círculo. A principal diferença em relação às formas esféricas é que, no caso das esferas, não existe um lado “para cima” nem um lado “para baixo”, como em um disco mais ou menos plano. Nas formas radiais, estes lados existem.

Um misto de simetrias

Há formas ou espécies que combinam mais de um tipo de simetria. As espécies birradiais, por exemplo, combinam as simetrias radial e bilateral. Elas não são muito comuns na natureza, e talvez um dos melhores representantes deste tipo de formato são as águas-vivas-de-pente ou carambolas-do-mar. Estes animais marinhos, que lembram as águas-vivas, têm seus lados opostos simétricos - mas cada lado é diferente do seu adjacente. Ou seja: se fosse uma figura geométrica, uma carambola-do-mar poderia ser facilmente representada por um retângulo: os lados de cima e de baixo são iguais. No entanto, são diferentes de seu lado direito e esquerdo (que também são iguais). Se todos os lados fossem exatamente iguais, a figura não seria mais um retângulo, e sim um quadrado.

Formas quebráveis

“Fractal”, termo cunhado pelo matemático francês Benoît Mandelbrot em meados da década de 1970, vem do latim “fractus”, ou “quebrado”. Isso explica a lógica da geometria de um fractal: é uma estrutura que tem simetria por escala. Qualquer parte de um fractal, por menor que seja, tem o mesmo formato da figura inteira.

Um bom exemplo é o cubo, muito conhecido por Esponja de Menger, que leva este nome em homenagem ao matemático austríaco Karl Menger, que, no século passado, estudou a topologia de objetos geométricos. É possível obter a Esponja de Menger ao se retirar a parte central de um cubo e se repetir o processo algumas vezes em escala cada vez menor. Provavelmente a melhor representação de formas fractais na natureza seja a couve-brócoli romanesco.

Simetrias em outra dimensão

Nem todas as simetrias que conhecemos acontecem na dimensão espacial, na forma de figuras geométricas ou formas encontradas na natureza. Simetrias também existem no mundo natural de outras formas que podemos ver, ouvir e sentir. Luz e som, por exemplo, se comportam em forma de onda - e podemos dizer que são, por isso, simétricos quando seu comprimento de onda é regular. Sua simetria não se dá no espaço como uma figura geométrica que podemos ver -- com sua pulsação, luz e som são simétricos no tempo. Algumas estrelas, por exemplo, têm variações de brilho -- ou pulsações -- regulares. A RS Puppis, localizada perto do centro da nossa Via Láctea, é uma delas: sua periodicidade de pulsação é de 40 dias, aproximadamente.

Simetrias estão por todos os lugares o tempo todo. Basta olhar ao redor para perceber que elas nos cercam e, além de dar mais graça e beleza ao nosso cotidiano, também têm muitas funções de que não nos damos conta. A natureza esconde números, equações e proporções que podem ser desvendados por qualquer pessoa que tenha curiosidade. Como disse o célebre físico Richard Feynman, “o conhecimento da ciência apenas enriquece a empolgação, o mistério e a admiração” da natureza. E não tira sua beleza.